线性代数 Linear algebra

Concepts

Euclidean vector

Three dimensional Euclidean sapce ($R^3$)

$$ a = (a_1, a_2, a_3) \ a = (a_x, a_y, a_z) $$

N dimensional Eculidean sapce ($R^n$)

Column vector or row vector

$$ a = \begin{bmatrix} a_1\ a_2\ a_3 \end{bmatrix} = [a_1, a_2, a_3]^T $$

Diagonal matrix 对角矩阵

N阶方阵

$$ \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \ 0 & a_2 & \ldots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix} $$

称之为对角矩阵，简称对角阵，记为 $diag(a_1, a_2, \ldots, a_n)$.

当 $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ 时，这个数量矩阵称之为n阶单位矩阵，简称单位阵，记为 $E_n 或 E$

定义: 两个矩阵的行数列数都相等，称为同型矩阵、对应位置上的元素也相等称矩阵 $A$和$B$ 相等, 记作 $A = B$.

矩阵的线性运算

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算:

加法

同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。

$A=({a_{ij})}{m \times n}$ 和 $B=({b{ij})}_{m \times n}$ 是两个同型矩阵， 则矩阵 A 与 B 的和记为 A + B，同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法。

1. $A+B = B+A$
2. $(A+B)+C = A+(B+C)$
3. $A + {O}{m \times n} = {O}{m \times n} + A = A$
4. $A-B = A+(-B) = (a_{ij}-b_{ij})_{m \times n}$

数乘

k, l 是任意两个数， A, B 是任意两个$m \times n$ 的矩阵:

1. $k(A+B) = kA + kB$
2. $(k+l)A = kA + lA$
3. $(kl)A = k(lA)=l(kA)$
4. $1A = A$
5. $(-1)A = -A$
6. $0A = {O}_{m \times n}$

矩阵的乘法

只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（第二个矩阵） 的行数相等时，两个矩阵才能相乘.

矩阵 $A=(a_{ij})$ 是一个 $m \times p$ 矩阵， 矩阵 $B=(b_{ij})$ 是一个 $p \times n$ 矩阵， A 与 B 的乘积是一个 $m \times n$ 的矩阵 $C=(c_{ij})$.

C 的第 i 行 第 j 列 元素 $c_{ij}$ 由 A 的第 i 行元素与B 的第j列相应元素乘积之和.

$$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj} = a_{i1} b_{1j} + \dots + a_{ip} b_{pj} $$

注意:

1. 不满足交换律，即一般情况下 $AB \ne BA$
2. 尽管 $A \ne O, B \ne O$, 仍旧可能 $(BA = O)$
3. 满足 $AB = O$, 得不出 $A = O$ 或 $B = O$

满足运算律:

1. 结合律：$(AB)C = A(BC)$
2. 矩阵乘法对矩阵加法的分配率：$A(B+C) = AB + BC, (A+B)C = AC +BC$
3. $(kA)B = A(kB)$
4. $E_{m}A_{m \times n} = A_{m \times n}E_{n} = A_{m \times n}$
5. ${O}{m \times s} A{s \times n} = {O}{m \times n}; A{m \times s} {O}{s \times n} = {O}{m \times n}$

矩阵的转置 Transpose

$m \times n$ 矩阵:

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \ \end{bmatrix} $$

把矩阵 A 的行换成同序数的列 $n \times m$ 得到 的 $n \times m$ 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵记作 $A^T$

$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{nm} \ \end{bmatrix} $$

k 为常数， A B 为同型矩阵：

1. $(A+B)^T = A^T+B^T$
2. $(AB)^T=B^TA^T$
3. $(A^T)^T = A$
4. $(kA)^T = kA^T$

对称矩阵: n阶方阵 A 满足 $A^T = A$ 则称A为对称矩阵， $A^T = -A$ 则称A为反对称矩阵.